ブラック企業に入社してしまった。。

４月入社であれば試用期間の可能性が高いかと思うのでやめても大丈夫です
もし試用期間が無くてもやめた方がいいと思います。
何度も転職しましたが手帳の転記、社員名の強制暗記など聞いたことありません。
異常だと思います。

20分前出勤については一般的な方だと思います
業種によっては一時間前出勤とかも一般的にありますしね。
ただその場合は早出手当てが付くのが普通です
また片付けについては検索すれば分かりますが、労働時間に含まれるのが一般的なようです。
今の時代、ひとつの会社にこだわる時代でもないので、嫌ならさっさとやめた方がいいかなぁと個人的には思います

次の会社に影響するかについては、
１ヶ月ないし、数ヶ月の勤務となると
退職理由は聞かれると思いますが、
今回の内容を正直に伝えたらいいと思いますよ
あなたに非があるわけではないので
若いですしすぐ次が決まると思います