続けるべきかやめるべきか

> 5年連続で雇用された契約社員は6年目は雇用できません。その場合、会社はクビにするか社員にするかの2択です。

えっ？　そんなことはないですよ。
本人が、その会社の無期雇用に転換するかを決めることができるということです。
無期雇用＝社員ではありません。

特に主さんは、時給で働いているフルタイムのパートさんのようなので、
その会社の無期雇用のパートになるか選べるという事です。
無期雇用に転換した場合、会社は簡単には切ることはできない。
基本は定年まで雇用するという考え方ですね。

無期雇用の場合「契約は定年まで」なので、契約期間が満了と言う考えがないので
退職した場合、基本は「自己都合退職」になり失業保険を受給する時も3か月間の
給付制限期間があることになり、失業保険がすぐにはもらえないというデメリットｇ
あります。