退職する上での保険について

一番さんも仰ったように、二重に支払うことはまずないのです。

１０月半ばに退職→一週間以内に離職票郵送(又は受け取りに会社へ)→２週間以内にお住まいの市町村区役所へ国民保健の加入の手続きをして保険証を発行(当日にできます)
住んでいる場所にもよりますが、あなた様の場合は支払い１１月分から始まります。１０月分徴収されません。それは離職票に秘密があるからです。

あと、年末調整ができるならそれをしてから退職した方がいいですよ。
確定申告の時、かなりバタバタします。
(経験者は語るじゃないですけどｗ)