派遣さんに契約外の業務をお願いするのってそんなにダメですか？

お気持ちは分かりますが、
「(法的に)業務範囲外だ」と突っぱねられるならば、「これは(こじつけでも)付随する業務にあたる」と押し付けることも可能だと思います。

ただ、社員が当たり前に行う業務(業務範囲外の業務)を派遣社員が同じ様に行う業務システムは派遣法違反です。(たとえば、当番制の入力業務や窓口業務)

逆に言えば派遣勤務時間中は業務範囲内の仕事をしていなければ、お給料は貰えないのです。(契約書は双方の立場から、読むことが基礎です。)

人柄によっては許せますが、やりたくない仕事ばかり業務範囲外と言って突っぱねる割には、業務範囲外と思われる楽な仕事ばかりを引き受けてはいませんか？

そういう人には、それなりの対応というものがありますよ。

ただ、派遣社員が業務範囲外の責任ある仕事で、大きなミスをした場合は誰が責任を取りますか？
零細企業が派遣社員のミスを被ってくれますか？
おそらく、一個人の責任としたがるでしょう。

そういった事を理解して、人事として人間を雇用していますか？

私はそこも疑問です。