派遣さんに契約外の業務をお願いするのってそんなにダメですか？

元派遣社員です。

主さんの仰りたいことは分かりますが、そもそも派遣社員に助け合いを求めることが間違いです。交通費なし、ボーナスなし、仕事も３年満期かつ日々の更新を経て仕事をしている派遣社員。あなたの会社に守られているわけでない。立場が非常に弱いのです。だから愛社精神を持たせようなど、おこがましいのです

契約以外の仕事をして、たとえばあなたの会社が損害を被ったとします。その責任を派遣社員か負担したければいけないのでしょうか？無理ですよね。
派遣社員とは、あなたの会社と派遣会社間の契約書に基づき、正社員の管理下のもと、定められた仕事を行う臨時のすてごまです。

契約書以外のことを御社が任せるということは、支払ってるお金以上のサービスを後だししていることなのです。

契約内容を変えたいのであれば、契約を交わしている派遣会社に相談してください。派遣社員の給料は派遣会社から出ているので。