どうしたらお互いにとって円満に辞められるでしょうか？

就業規則とおり3ヶ月前に退職の申し出をするのが一番良い方法だと思いますが、それは転職者が退職する場合です。

スレ主さんは会社に未練もなく、復帰する意思も感じられないので、現在も不眠で体調不良なら、有給が終了しても復帰せず、体調不良で欠勤のまま退職しても法的には問題無いと思われます。

会社側は人手が少ないのに急に退職されるのは困ると言うと思いますが、それは会社の都合なので、情に流されず、そこは割り切って自分を第一優先に考えて、一日でも早く決断するべきです。

退職する権利は、会社側（雇用主）ではなく、労働者側（スレ主）にあります。

もし、上司や社長が強引に引き止めたり、退職を受け入れないのは、法律違反にあたります。

民法627条1項により労働者には「退職の自由」があるため、退職の意思表示から2週間経過すると雇用関係が終了できるのですが、今回の場合は、病院に行っていますし、ストレスによる体調不良ですので、民法628条にあたると思います。

体調不良は民法628条「やむを得ない理由であれば退職できる」に該当するので、さっさと辞めたほうがお互い良い結果になると思います。