仕事のミス、報告を忘れた

提出先の部署の方に
「じゃあ今日付けで出して。処理するから～」と言われたんですよね？
今日付けでと指定された書類が出せてないなら急いで提出先に確認する必要がありますが、既に押印して提出したのなら貴方の仕事はそこまでです。
提出先が処理を引き受けてくれたのに、改めて貴方が確認する必要はないと思いますよ。今更支障があるかを貴方が確認したところでなんの意味もないですし。本来確認は不備がわかった時点でするものです。

自分の手から離れた仕事を
いつまでも気にするよりも、
次の仕事でミスしないように
気をつける方が大事です。

とりあえず朝一番に上司に報告
『書類の不備があって、提出が遅れたのですが処理は提出先がしてくれることになりました。事後報告になり、申し訳ございません』とでも伝えてみては。
あとは同じミスはしないように
次からの対策を伝えればいいと思います。

しっかりするように言われているなら
尚更自分の行動に責任を持って
ミスは報告すべきです。
慌てていたといってもミスはミス。
変えられない事実です。
部下の不出来は
上司の評価にも繋がりますから
厳しく言われても仕方のない事。

周りに仕事について言われたくないなら
責任を持って仕事をすればいいだけの事。
ミスが多いから言われるのであって、しっかり確認して仕事ができていれば文句言われる事はありませんよ。
気にするところが違います。