正社員の仕事を探すべきか悩んでる

いっぱいいっぱいで余裕が無いので大変ですね、お察しします。

ただ、会社が一方的に問題あるとも言えない部分もあるので先にそこの指摘を。

>でも、残業はして欲しくないのか、定時になると帰ってねーと言われます。
これはおそらく研修期間なので残業がさせられない縛りがあるのでは？と思いますが、翌日に残すことを考えれば、キリのイイところまでさせてもらえないか？の相談はしていいと思います。

>前に退職者が作ったマニュアルを見て勉強してくれという感じです。
作業手順マニュアルとは、そこに掛かる手間暇を省く目的でも使用します。要はそれを教える人と時間の代わりに書面にしたものなので、元から手が足りてない職場なら当然の対応です。

>分からない言葉を聞いたりすると、ネットとかで調べたらいいじゃないとか言われます。
こちらも同様で、例えば茶でもすすってる暇そうな人に聞くなら分かりますが、同じく仕事を抱えていればできることは自分でやれのスタンスかと。

問題は仕事量の多さですよね。慣れていないせいで余計に大変というのもあるでしょうし、マルチタスクで処理できるタイプかなど向き不向きもあります。

1さんの仰る通りスキルとしては身に付くと思いますので、自分が押し潰されない範囲でやれるだけやってみてもいいかと。また、慣れて仕事を熟せれば必要な人材には確実になるでしょうし、賃上げ交渉の武器にもなりますよね。