更新しない理由

そう言うキャラの人も居ると言われてからそう考えるようにしてましたが、やはり続けられそうにありません。次回の更新は出来ませんすみません。

何か言われたら、
派遣社員は更新はしなければならないものなのでしょうか？
（又は、更新は義務ですか？）
とひたすら聞いてみましょう。

引き止めることや話を流して聞かないことは、派遣会社ではあることかと思います。
しかし、契約は契約です。
携帯会社でも更新せずに他所へいきますよね？
止められたから、と考えずに契約を更新するもしないも主さんの意思です。

なるべく早目に伝えて、代わりの人を探す時間を派遣会社に作り、尚かつ自分の次の仕事も探して貰うのが一番楽です。
その派遣会社でお世話になるつもりが無い場合にのみ、体調不良を使ってもいいかと思います。
少しお休み貰えるように言うから大丈夫だよ、治らない病気じゃないよね？等と言われたら、また交わすのも大変かなって思います。
あの手この手で来ると思いますが、頑張ってくださいね。