この場合どちらが費用をもつのが正解か。

誘ったのはどっちとかは関係ないかと^^;
それを言い出したら、来ると決めたのはそちらとなっちゃいますよ汗

提案をしてくれただけだから、行くも行かないも決めていいんです。
関係が悪くなるから行こうと決めたなら、相手も関係を崩さないために誘ってくれてますし、お互いいい関係だと思いますよ。
気持ちよい関係であるために、お金は別々のほうがいいです。
奢られたら断れなくなりますよ^^;