亡くなった家族の借金

相続放棄は「自己のために相続の開始があったことを知った時」（民法915条1項）から三カ月以内に行うこととされており、原則はある人が亡くなったことと自分がその人の相続人であることを知ったときです。
負債があるとかないとかを知ったときではありません。
これが原則となりますが、それでは負債の存在を知らなかった人にとって酷になるケースも生じていたために、最高裁判決昭和59年4月27日民集38巻6号698頁は、三カ月以内に相続放棄をしなかったのが、被相続人（亡くなった方）に相続財産が全くないと信じたためであり、そのように信じるについて相当な理由があるときは、起算点をずらせるという判断をしたのです。
起算点を負債の存在を知った時にずらせるのは例外です。相続財産が全くないと信じる必要があるわけですから、実は相続財産を自分のために消費しているなどの事態があればずらせないですし、そもそもそういう事態は法定単純承認事由（民法921条1号）ともなります。