派遣さんに契約外の業務をお願いするのってそんなにダメですか？

しつこいですが、再度言わせて下さい。

約束を破る人間を信用できますか?

主さんの会社が派遣社員に柔軟性を求めるという事は、約束を破らせている会社だと言うことです。
主さんの会社がどういう業務かわかりませんが、そんな会社と今度は客として取り引きしたいと思いますか。

仕事給与に対する責任、派遣社員は契約に基づいて働くので、それを守ることは責任のひとつです。
スレの派遣社員の言い方は確かに冷たいでしょう。
でも、逆に言えばきっちり守ることが出来る流されない人間だということです。

最初に柔軟に対応出来る契約内容で契約するのも、クライアントとしての責任だと思います。
いくら客でも客としての責任ってありますよね。
派遣社員や派遣元を責めるのは違うと思います。