派遣さんに契約外の業務をお願いするのってそんなにダメですか？

労働法、派遣法を勉強してください。

その派遣さんがかわいそうに思います。
その方は契約内の業務はきちんとされているのに、派遣先の都合で契約更新もなくそれでも黙って出社してるのに、

まだ契約外の業務を依頼していることにもデリカシーがないと思いますし、挙げ句の果てあなた方の都合で契約期間まで待たずに終了ですか？

派遣社員は派遣会社との雇用関係を結んでいるため、あなたの行動は多少は免れますが

直接契約の従業員に勝手に休みの指示をしたり、明らかに違う業務の指示をして、従業員から訴えられたら労基署の指導が入りますよ。

人事ので働いているなら、
もう少し労働法、派遣法を勉強してください。
あなたのほうこそ、自分の仕事を怠っていますよ。その知識では。