トレイの運搬

取り入って貰えないなら安全な台車の購入とかは論外ですね^^;
無料で改善するなら作業動線の検討とかですかね。
そもそも洗浄機から離れたところに山積みにする意味が判りませんので、山積みするなら洗浄機の近くにするような作業手順を考えては？
無論、自分だけに都合の良い形では上司の許可が出ないでしょうから全体を考える必要があります。
あなたが仕事場全体を考えて改善してください。それは現場を知っている人にしかできないのでミクルにいる人では考えれません。
業務改善にパートも正社員も関係ないですよ。がんばってください