至急お願いします。

半端な一週間は、給料の締め日(月給制の)ではないのですか？

派遣は週給制(週払い)も認めている会社が殆どですが、普通の会社でも給料の締め日がありますよね？
(１０日締め２５日支給のような)
その日までの一週間が端数かと。

派遣の契約期間は、その度に契約書を交わし契約更新になりますが、初めは短めで次は３ヶ月、６ヶ月と延びるんじゃないですか？

様々な事情により、仮に契約終了なら、１ヶ月前までに派遣会社から、その通知(主さんの担当者から主さんへ)があります。

契約終了を告げられたら、その後の仕事については、ご自分で新たな仕事を見つける事になります。

主さんの勤務態度などで契約終了(クビ)は無いとして、
先方(派遣先)の都合で終了(派遣は要らない等)になった場合、同じ派遣会社で主さんの希望と条件の合う仕事があれば勿論紹介をしてくれます。

最初から期間限定の仕事であれば、その期間で終わりなのは言うまでもありません(例えば即日～８月末まで等)。

派遣仕事をしながら、他に安定したパート、バイトを見つけるのも良いんじゃないですか？