離職票の有無

誰でもハロワに登録すれば係の人との面談の上、問題なければ紹介状出してくれます。そしてその会社に出して面接して（必要なら）判を捺されハロワに証明として戻されるみたい。
で、次の就職先は決まり雇用保険からおりる失業給付金は受け取れないはずですから、保険の手続きに必要な離職票は要らないということになりますが。

主さんはどうしたい希望なのでしょうか。

給付金貰いながら隠して仕事をし収入得ると罰金払わないといけなくなります。
つけ加えますと主さんの場合自己都合退職なので手続き後から三月してから支給の開始となりますよ。
その会社怪しいですね。何か企んでるのかな。