仕事を辞めるタイミング

ゴミ処理係って何の業務なのか分からないですが、主さんが仰る通り、誰かがしなければいけない仕事だと思うので理不尽であっても頑張っている主さんは立派だと思います。

精神的に辛くて退職を今すぐしたいなら、タイミングなど計らず退職届を上司に出せば良いですが、どうにか頑張れるなら継続しながら転職先を探したタイミングで退職するのは如何でしょうか。

どちらにしても退職を伝えるタイミングは、上司に時間を割いて口頭で意思を伝えても問題ないですが、できれば退職届を渡した方がスムーズですし、余計な時間を割かなくても渡すだけなので直ぐだと思います。

その前に、調べておくことは
①有給消化残数を確認する。
②就業規則の退職で定められたルールを確認する。
ことが必要と思います。

①は退職日まで仕事をするため、有給消化の日数を確認すると良いと思いますし、②の就業規則には退職規定などで退職の1ケ月前に意思を伝えるなどの期間の定めがあることがほとんどなので、きちんと確認してから、退職届を上司に渡すと良いと思います。
何も決まりが無ければ2週間前に退職の意思を伝えれば退職できます。

主さんが退職の意思を申し出るのは労働者の権利のなので会社は受け入れざる得ないため、引き止などに応じる必要もありませんが有給消化については会社側の受理が必要なので、双方で話し合って円滑に進められた方が良いと思います。（退職願ではなく退職届を出すよう注意して下さい。）