権利はなくなる

主さんが最初に会社から言われたとおりです。
それを言い換えると、労働基準法では2週間前に会社に意思表示、申し出ればOK。書面は絶対条件ではなく口頭でOK(ただ書面なら言った言わない、退職日等の行き違いを避けられます)。
会社としては後任や引き継ぎの問題があり対処能力に欠けるから基準法よりもっと前に余裕を欲しい。だから一月はちょうだい。一月前に言ってね。とこんな感じになります。

退職を会社が認めるとかは法規上は関係がありません。辞めさせないは嫌がらせ、会社がすべきことを先のばしした怠慢ですね。
主さんが体調を崩した時点でいくつかの選択肢を準備したり想定するのが偉い人の役目です。
別の観点からは、主は辞める権利がある。会社は辞めさせない権利は無いが、すべきことをしないで先送りする。だから主は嫌でも辞めるな。早く言えば泣き寝入りしろ…厳しく言えばこうなるかな。